二分法

二分法的概念

二分法(Bisection method)，即一分为二的的方法。对于在区间$[a,b]$上连续不断且满足$f(a)*f(b)<0$的函数$y=f(x)$,通过不断地把函数$f(x)$的零点所在区间二等分，使区间两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法。
简单来说就是
一般用于求解一个具有单调性的函数的分界点。

二分实际上也是一种枚举，只不过是使用的数学方法大大减少了无意义的枚举次数,时间复杂度也优化成$O(logn)$。

我们一般所说的二分是二分查找法，本文就用二分简说。

简单来说二分搜索法可以用来查找满足某种条件的最大（最小）的值。

单调性

在二分前，我们需要研究问题的单调性。
比如我们要求在正整数定义域内函数满足：
$$f(x) = x^2 ≥ k$$
的一个最小的x，其中k一般是一个定值。
我们很容易发现$x^2$的函数在正整数定义域内是单调递增的。

当然二分不止用在这么简单的场景，其他场景需要你自行分析。

二段性

集合中的元素有存在分界线，给定条件可以将集合中元素分为两部分，一部分满足条件，一部分不满足条件。
例如当我们要查找一个数组中小于$14$的最大的一个数：

$$1 ,3 ,8 ,13 ,15 ,20 ,23$$

这时可以发现从13和15中间就有一条分界线，左边是满足我们的条件的，右边是不满足的。

于是就可以通过这个将整个区间分为两个区间。具体分为哪段到哪段就看你的写法。
所以我们就可以确定二分的方式，以及代码编写的选择，当然，如果是实数二分就不存在这样的区别。

枚举区间

当我们使用二分的时候，还需要考虑的一点是，枚举的一个区间$[l,r]$。
这个区间一定是包含我们的最终答案的。

判断函数

1	`bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质`

就刚刚的例子而言，我们的判断函数$check()$即为$mid^2 ≥ k$ (mid即为二分时的中间点)
判断函数的编写也是二分的重中之重，稍微一步写错就有可能造成找不到答案或者死循环的情况。

确定答案

和题意结合，输出对应的答案，这一步尤其要注意，要理解清楚题目的意思，比如第一个大于等于的，最后一个小于的，最后一个小于等于的等等等等。需要自己多加小心（通常这些字眼就暗示了这一道题需要用二分来优化）

分区间

对应上文的分界线前后的元素，是属于整数二分的内容。

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int binsearch(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int binsearch(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

实数二分

实数二分就不用考虑整数二分的困扰，直接二分即可，要考虑精度，可以用浮点数比较法，还有一种方法是限制二分次数。

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double binsearch(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

库函数

除了手写二分，还有一些库函数可以直接使用。

lower_bound(x)：返回大于等于 x 的第一个迭代器；
upper_bound(x)：返回大于 x 的第一个迭代器；
binary_search(x)：在容器中二分查找 x 是否存在。

lower_bound( begin,end,num)：从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个大于或等于num的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回end。通过返回的地址减去起始地址begin,得到找到数字在数组中的下标。

upper_bound( begin,end,num)：从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个大于num的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回end。通过返回的地址减去起始地址begin,得到找到数字在数组中的下标。

在从大到小的排序数组中，重载lower_bound()和upper_bound()

lower_bound( begin,end,num,greater() ):从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个小于或等于num的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回end。通过返回的地址减去起始地址begin,得到找到数字在数组中的下标。

upper_bound( begin,end,num,greater() ):从数组的begin位置到end-1位置二分查找第一个小于num的数字，找到返回该数字的地址，不存在则返回end。通过返回的地址减去起始地址begin,得到找到数字在数组中的下标。

binary_search (begin，end，num,sort_rule);
意思是，begin和end-1 的查找区间内，查找“等于”num的元素，返回值为1 (true 找到) 或0 (false 没找到)。

三分法

三分的一大运用便是求解函数的极值点，虽然很高大上但是实际写起来并不复杂，基本与二分一致。

整数凸函数

ll l, r;
while(l < r) {
    ll lmid = l + (r - l) / 3;
    ll rmid = r - (r - l) / 3;
    if(calc(lmid) <= calc(rmid))	l = lmid + 1;
    else r = rmid - 1;
}
printf("%lld\n", max(calc(l), calc(r)));

整数凹函数

ll l, r;
while(l < r) {
    ll lmid = l + (r - l) / 3;
    ll rmid = r - (r - l) / 3;
    if(calc(rmid) >= calc(lmid))	r = mid - 1;
    else 	l = mid + 1;
}
printf("%lld\n", min(calc(l), calc(r)));

实数

这里采用的是限制循环次数法。

凸

double l, r;
for(int i = 0; i < 300; i++) {
    double lmid = l + (r - l) / 3;
    double rmid = r - (r - l) / 3;
    if(calc(lmid) <= calc(rmid))	l = lmid;
    else 	r = rmid;
}
printf("%.6f\n", calc(l));

凹

double l, r;
for(int i = 0; i < 300; i++) {
    double lmid = l + (r - l) / 3;
    double rmid = r - (r - l) / 3;
    if(calc(rmid) >= calc(lmid))	r = rmid;
    else 	l = lmid;
}
printf("%.6f\n", calc(l));